芝諾悖論與空間連續性

芝諾是古希臘著名哲學家，愛利亞學派的代表人物，以擅長詭辯著稱。芝諾最著名的可能就是他關於運動的一個悖論，即阿喀琉斯永遠追不上烏龜。阿喀琉斯是古希臘神話中擅跑的健將，他怎麼會跑不過烏龜呢？芝諾是這麼解釋的，比如烏龜在阿喀琉斯前100米，而阿喀琉斯的速度是烏龜的10倍，兩人同時起跑。當阿喀琉斯追至前方100米時，烏龜已經向前爬行了10米，當阿喀琉斯再追10米時，烏龜又向前爬行了1米，如此不斷進行下去，當阿喀琉斯追至烏龜原來所在的位置時，烏龜總會向前爬行一段距離，阿喀琉斯永遠只能跟在烏龜後面。

這也是少年時代一直困擾我的一個問題。單從邏輯上看，芝諾悖論挑不出任何問題。後來高中學極限時，記得老師大略解釋過芝諾悖論。大意是烏龜和阿喀琉斯的距離為100/10^n，這個數列將迅速收斂為0，也就是極限為0，而極限是確定的數，而非近似，然後阿喀琉斯就超越烏龜了。可我更困惑了，如果是極限的話，意味著無限追趕，怎麼會超越呢。

那麼，芝諾悖論的問題到底出在哪裡？我們不妨換個思路，拋開對芝諾所謂詭辯的偏見，大膽承認其合理性，會有什麼發現呢？仔細考察芝諾悖論，其隱含的最核心觀點在於空間的連續性，因而可以無限細分的。如果承認空間是連續的，我們會無奈地發現，芝諾並沒有錯，阿喀琉斯永遠都無法追上烏龜。怎麼樣，夠嚇人吧。

但現實是阿喀琉斯不僅追上，還超越了烏龜。那麼只能有一個解釋，就是空間本身是不連續的。或許這才是更嚇人的地方。有人說，我可以算出阿喀琉斯什麼時候追上烏龜，什麼時候超越烏龜。但這已經假設了阿喀琉斯可以追上烏龜，而芝諾悖論要研究的是阿喀琉斯究竟能不能追上烏龜。

空間竟然是不連續的，這當然完全打破了我們的日常體驗。當我們沿直線從A點走到B點，當然認為會連續經過其間的任何一點，而現在這些似乎都成了幻覺。不僅如此，芝諾還帶來了科學理論上的強烈衝擊。我們知道，牛頓的封神之作叫《自然哲學的數學原理》，這裡的數學原理就是微積分。也就是我們整個的經典物理體系是建立在微積分的基礎上的。而學過微積分的都知道，「連續」、「光滑」的概念在微積分里有多麼重要。而芝諾悖論隱含的空間非連續性已經嚴重動搖了經典物理的大廈，某種程度上已經顛覆了這座大廈。

那麼，是牛頓不明白芝諾悖論嗎？應該不是，個人覺得一來芝諾悖論千百年來被長期偏見，可能未能引起人們足夠重視，二來或許牛頓本身也無力解決芝諾悖論。雖然他發明了微積分，但重點只是用於解決物理問題，數學基礎並不穩固，而極限等基礎概念在一百多年後才被歷代數學家不斷完善進微積分，形成一套自洽的體系。即便如此，在面對芝諾悖論時，微積分仍然顯得無能為力。

如果空間真的是不連續的，那空間到底是怎樣一種形態？是否真的存在最小的空間單位？那麼最小的空間單位之間又是什麼？物體又是如何從一個空間單位躍進到另一空間單位？運動的真相到底是什麼？甚至我們這個世界到底以何種方式存在都成了問題。

千百年來，人們普遍認為芝諾悖論不過是一些詭辯，而亞里士多德對芝諾的批判幾乎是權威的，後世大批哲學家宣稱芝諾不過是個聰明的騙子，甚至芝諾本身也只能不斷被人用來倡導懷疑主義和否定知識。至今，人們也只能在亞里士多德隻言片語的引述中尋找芝諾的思想。

19世紀中葉以後，隨著人們對世界，特別是微觀世界認識的深入，特別是量子力學的興起，人們漸漸認識到芝諾思想的價值。在量子領域，人們對於空間、時間、運動等又有了進一步的認識。連續性已經不再神聖，離散的能量已被廣為接受，空間和時間是否連續已經變得模糊不清，電子躍遷和電子云的混沌狀態隱隱約約提示著運動的真實狀態，定域和實在等等事物普通存在的方式都受到了挑戰。總之，量子領域發生的一切大大顛覆了我們日常的世界觀。在量子領域，芝諾悖論隱約得到了一定解釋。

羅素曾感慨地說道：「死後得不到應有的評價的最典型例子莫過於愛利亞的芝諾了，他發明了四個無限精妙無限深邃的悖論，……，遭到兩千多年的連續駁斥之後才得以正名。」

用現在的眼光看，芝諾並不是簡單否定運動，而是試圖解釋這些悖論后隱藏的運動、存在的種種真相。就本質而言，世界似乎更符合芝諾的觀點，此時芝諾悖論已經不再是悖論，而變成了對客觀世界的一個實實在在的描述。數學上的連續性或許真的只存在於理論中。如果空間是不連續的，時間自然也是不連續的，不僅微觀世界，我們宏觀世界也處在不連續中，只是尺度太小，我們感受不到而已。在芝諾的世界里，或許時間和空間真的不過是客觀事物派生的屬性，這樣是不是又有了一些唯物的意味？

時至今日，芝諾悖論解決了嗎？答案是仍然沒有解決，前面說過芝諾悖論只是在量子力學中得到了部分解釋。就科學領域而言，芝諾悖論仍然沒有得到完整的、合理的解釋。芝諾悖論還將繼續屹立在那裡，持續考驗我們的智慧。這就是兩千多年前古希臘人對世界的思考，這就是他們留給我們的精神財富。

後續文章《對芝諾悖論的一個有趣解釋》