Excel之道-指數分佈
前面的前面講到泊松分佈，今天講到指數分佈，這兩種分佈都帶有指數，經常容易混淆。其實，指數分佈可以從泊松分佈推導出來，是特殊情況下的泊松分佈。
泊松分佈常應用在日常生活中有固定頻率的事件的概率分佈，如某醫院平均每小時出生3個嬰兒、某公司平均每10分鐘接到1個電話、公交站沒15分鐘發一趟公交車等等。它們的特點就是，我們可以預估這些事件的總數，但是沒法知道具體的發生時間。已知平均每小時出生3個嬰兒，請問下一個小時，會出生幾個？
泊松分佈概率密度函數公式
指數分佈常用來代表上述事件的時間間隔的概率。如嬰兒出生的時間間隔、來電時間的間隔、等公交的時間等等。
如果下一個嬰兒要間隔時間 t ，即等同於 t 之內沒有任何嬰兒出生。因此，指數分佈的公式可以從泊松分佈推斷出來。
Advertisements
當n=0時，泊松分佈的概率密度函數公式，即時間t內有固定頻率的事件發生次數為0的概率
反過來，事件在時間 t 之內發生的概率，就是1減去上面的值。即指數分佈公式：
當n=0時，泊松分佈在時間t內發生的概率
EXPON.DIST 函數（Excwl2013以下為EXPONDIST，用法參數相同）
返回指數分佈。 使用 EXPON.DIST 可以建立事件之間的時間間隔模型，如銀行自動提款機支付一次現金所花費的時間。例如，可通過 EXPON.DIST 來確定這一過程最長持續一分鐘的發生概率。
EXPON.DIST(x,lambda,cumulative)
EXPON.DIST 函數語法具有下列參數：
X 必需。 函數值。
Advertisements
Lambda 必需。 參數值。
Cumulative 必需。 邏輯值，用於指定指數函數的形式。 如果 cumulative 為 TRUE，則 EXPON.DIST 返回累積分佈函數；如果為 FALSE，則返回概率密度函數。
備註
如果 x 或 lambda 為非數值型，則 EXPON.DIST 返回 錯誤值 #VALUE!。
如果 x < 0，則 EXPON.DIST 返回 錯誤值 #NUM!。
如果 lambda < 0，則 EXPON.DIST 返回 錯誤值 #NUM!。
概率密度函數的公式為：
指數分佈概率密度函數公式
累積分佈函數的公式為：
指數累計分佈函數公式
例子1：已知平均每小時出生3個嬰兒，那麼接下來15分鐘，會有嬰兒出生的概率是多少？15分鐘到30分鐘，會有嬰兒出生的概率又是多少？
P(X<=0.25)=1-e^(-3*0.25)=0.5276
觀測值x即為一段時間，為觀測時間/固定頻率時間；平均概率即固定頻率；累計分佈即該段時間的概率累計
P(0.25<=X<=0.5)=P(X<=0.5)-P(X<=0.25)=1-e^(-3*0.5)-(1-e^(-3*0.25))=e^(-0.75)-e^(-0.15)=0.2492
隨著間隔時間變長，事件的發生（孩子不出生）的概率急劇下降，呈指數式衰減。
例子2：指數函數的一個重要特徵是無記憶性（Memoryless Property，又稱遺失記憶性）。這表示如果一個隨機變數呈指數分佈，當s,t>0時有P(T>t+s|T>t)=P(T>s)。即，如果T是某一元件的壽命，已知元件使用了t小時，它總共使用至少s+t小時的條件概率，與從開始使用時算起它使用至少s小時的概率相等。（對於一些高穩定性的元件較為實用，而易損耗的元件顯然是矛盾的）。
「壽命」分佈的方差非常大，以致於已經使用的時間是可以忽略不計的。
例如有一種電池標稱可以充放電500次（平均壽命），但實際上，很多充放電次數數倍於500次的電池仍然在正常使用，也用很多電池沒有使用幾次就壞了——這是正常的，不是廠方欺騙你，是因為方差太大的緣故。隨機取一節電池，求它還能繼續使用300次的概率，我們認為與這節電池是否使用過與曾經使用過多少次是沒有關係的。
有人戲稱服從指數分佈的隨機變數是「永遠年輕的」，一個60歲的老人與一個剛出生的嬰兒，他們能夠再活十年的概率是相等的，你相信嗎？——如果人的壽命確實是服從指數分佈的話，回答是肯定的。
實際上：指數函數的無記憶性來自於泊松過程k=0時的 時間指數性，而泊松過程k=0時的（上面嬰兒實例提到）時間指數性來自於泊松分佈時 lambda（lambda=n*p,通常n很大而p很小，n*p恆定）的恆定性，也就是離散情況下，二項分佈的n*p的恆定性。