「向量減法運算及其幾何意義」教學設計

陳 瑩（天津市濱海新區塘沽第一中學）

摘要：「向量減法運算及其幾何意義」是高中數學必修4第二章平面向量第二單元第二節的內容。向量是近代數學中重要和基本的數學概念之一，有著極其豐富的實際背景。「向量減法運算及幾何意義」的教學應遵循教師的主導作用和學生的主體地位相統一的教學原則，採用引導發現式的教學方法並充分利用多媒體輔助教學，以便達到提高教學效果和教學質量的目的。

關鍵詞：向量減法運算；幾何意義；類比轉化；數形結合

教學內容解析

「向量減法運算及幾何意義」是高中數學必修4第二章平面向量第二單元第二節的內容。向量是近代數學中重要和基本的數學概念之一，它是溝通代數、幾何與三角函數的一種工具，有著極其豐富的實際背景。本節課的學習是建立在學生已經掌握了平面向量的基本概念和相等向量，共線向量的特點，以及向量加法運算的基礎上，進一步對於向量減法運算及其幾何意義進行研究。類比實數的減法運算，通過相反向量將向量減法運算轉化為向量加法運算，體現了加法運算與減法運算的內部聯繫。向量減法的學習是對數學中減法運算的豐富與升華，是對運算認識的又一次質的飛躍。

根據本節課的內容特點以及學生的實際情況，在教學過程中讓學生自己去感受向量減法的形成過程是這節課的突破口。向量的減法運算及其幾何意義，向量減法與向量加法的類比則為本節課的教學重點。

本節課的學習在發展學生運算能力的同時還需要培養學生運用向量語言和方法表述及解決實際問題的能力。另外，向量減法運算及幾何意義與向量加法運算及即將學習的向量數乘運算及幾何意義都有著密不可分的關係，因此本節的內容起到了承前啟後的重要作用。並且通過本節內容的教學還為培養學生邏輯推理能力和滲透數形結合、類比、轉化的數學思想方法提供了重要的素材。

教學目標設置

新課標指出教學目標應體現學生學會知識與技能的過程，也同時成為學生學會學習，形成正確價值觀的過程。新課標要求，藉助向量加法運算及相反向量的概念，理解向量減法的運算其幾何意義。根據新課標的理念及本節課的教學要求，制定了如下教學目標。

（1）掌握相反向量的概念，通過類比數的運算理解向量減法的定義，並掌握作兩個向量的差向量的方法。

（2）掌握向量減法的幾何意義並體會向量加減法的內在聯繫，從而滲透轉化的數學思想方法。

（3）通過學習，感知向量具有數形兼備的特徵，同時也是研究圖形的重要工具，從而深入體會數形結合的思想方法。

（4）通過學習使學生經歷用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題及提高分析實際問題的能力，增強數學應用意識。

（5）營造和諧的課堂氛圍，通過獨立思考及合作交流使學生獲得學習數學的成功體驗，培養良好的學習習慣及嚴謹的思維方式。

學生學情分析

本節課面對的是高一年級的學生，這個年齡段的學生思維活躍，求知慾強，但在思維習慣上還有待教師引導。通過之前的學習學生已經掌握了平面向量的基本概念、相等向量，共線向量的特點，以及向量加法運算及其幾何意義。同時對於數形結合、類比、轉化的數學思想方法也有了初步的認識。

為了更好地實現本節課的教學目標，需要學生從原有的知識和能力出發進一步體會向量加減法的內在聯繫，從而深入感受轉化及類比的數學思想方法。讓學生充分感受向量減法法則的研究方法和生成過程，從而深入體會數形結合的思想方法。

從數形結合、類比、轉化的數學思想方法的初步具備到本節課的深入強化，從向量基本概念、加法運算及其幾何意義的知識儲備到加減法及幾何意義的內在聯繫，可通過實際教學中積極的雙邊活動讓學生自主尋求解決問題的途徑。激發學生的學習熱情，提高課堂效率，使知識得到螺旋式的提高與鞏固。而對於加強學生自身對於數學的應用意識及實際問題的分析能力方面，還有待於教師的指導幫助。

根據本節課的教學內容及學生的實際情況，筆者將本節課的教學難點制定為對向量減法幾何意義的深入理解以及向量減法運算的實際應用。學生根據教師提供的情境，採用觀察、分析、抽象、概括等方式探索知識，歸納知識。通過創設情境疑問，引導學生開展獨立思考、主動探究、合作交流，探求解決問題的方法。鼓勵學生創新思考，加強數學實踐，培養學生的理性思維，同時注重培養學生良好的數學學習習慣。

教學策略分析

遵循教師的主導作用和學生的主體地位相統一的教學原則，本節課筆者採用引導發現式的教學方法並充分利用多媒體輔助教學，達到提高教學效果和教學質量的目的。從教與學的實際情況出發在教學過程中深入挖掘課本資源，強調向量運算的重要性，類比實數的減法運算提出是否存在向量減法運算的疑問，調動學生的學習興趣。教學的核心內容為向量減法的作圖方法及幾何意義，向量加減法在幾何問題中的應用，課後思考題體現了向量減法在實際生活中的應用，實現了課堂知識在課外的延伸。整節課教學材料的選擇安排符合學生的認知規律，可以有效提高學生數學思維的參與度，幫助學生逐步學會思考。

根據本課特點及學生情況，教學中教師通過創設情境，設置問題，啟發學生通過主動觀察、主動思考、自主探究、合作交流，實現動眼、動手、動腦操作來達到對知識的發現和接受。

圍繞本節課的教學重點，教學過程中以問題為驅動，逐層遞進，使學生對知識的探究由表及裡，逐步深入。通過思考題，以「問題串」形式組織教學，通過探究，引導學生思考、歸納、總結。

例題、練習、變式題的設置從淺入深，課後作業分層布置，設置為鞏固型、思維拓展型兩個階段，為不同認知基礎的學生提供相應的學習機會。在教學過程中，反饋應體現在學生對於課堂所學知識的反饋，同時也體現在教師對於學生解題過程中的診斷性評價。例題的自主完成要給學生足夠的時間，通過學生板演反饋知識內化情況。通過反饋教師給予學生更有針對性的指導幫助，從而真正實現知識的內化。

教學過程

教學過程結構圖如圖1所示。

學生能較好地回答上述問題。

複習過程中教師強調向量相關概念，並引領學生複習向量加法的兩種法則及各自特點。

【設計意圖】將知識的複習融入一道題目之中，巧妙地安排設問，複習相關概念並鞏固了向量加法的兩種法則，為後續的教學做好準備。

2．提出問題，創設情境

正如教材的第二章扉頁上所說，「如果沒有運算，向量只是一個『路標』，因為有了運算，向量的力量無限。」通過向量加法的學習，我們已經初步感受到了運算給予向量的力量，在此基礎上我們學習向量減法。

思考1:（1）如何定義向量減法？用怎樣的符號表示呢？如何理解向量的減法及其幾何意義？

（2）我們知道，在實數運算中，減去一個數等於加上這個數的相反數。類比相反數，我們在學習向量減法時，是否也有這樣的相反的向量呢？

（3）一架飛機由天津到香港,再由香港返回天津, 飛機的兩次位移分別是什麼?

（4）在物理學中我們學習過作用力與反作用力的概念，是如何定義的呢？

（5）兩個情境中涉及的兩個量，具有怎樣的關係呢？

（6）結合以上特點，你能否在正六邊形中，找到也具有這種特點的兩個向量？

（7）滿足這樣特點的兩個向量，我們就把它稱作相反向量。 用怎樣的數學符號表示呢？

學生對以上問題進行較完善地回答。

【設計意圖】 問題串的引入符合學生的認知規律，從加法到減法的過渡自然流暢。問題以類比減法運算的方法提出，為學生研究向量減法運算提供了思考方法，同時從生活及物理學情境引入新知可以激發學生的學習興趣。教學過程中，相反向量的定義由學生自己發現並總結，同時在正六邊形的複習題中得以應用，形成呼應。知識的形成並非強加給學生，而是讓學生自主發現探索，符合最近發展區原則。

3．探索新知，深入研究

在學習中我們發現向量的加法和減法是有機聯繫的一個整體，密不可分。下面我們來一起完成思考4，總結對比向量加法和減法運算。

【設計意圖】本環節設置力求讓學生較為系統掌握加減法的本質及內在聯繫，提升認識。

思考4：

（1）拔河比賽甲隊勝於乙隊，你能通過向量的知識來解釋嗎？

（2）江淮流域發生了大洪災。一條自西向東流淌的大河，在其南岸發現對岸的堤壩處有險情，救險隊員坐船從A處出發垂直向對岸駛去，才能到達險情發生處（如圖7）。已知船速、水速，

①求船實際航行速度的大小及方向；

②如果是正對岸出現險情（如圖8），該如何確定其航向？對你有何啟發？

【設計意圖】問題解決部分，從生活實例出發，拔河比賽的場景設置激發學生的學習興趣。在向量加法運算的學習中，運用向量加法的平行四邊形法則解決了堤壩搶險的實際問題。在向量減法運算的教學中改變險情位置，提出該如何確定航向的相關問題，體現向量減法運算的實際應用，學以致用，讓學生感受到數學服務於生活，且有著廣泛的應用。學生課上提出解題思路，具體求解結果留作課後解決。

6．小結升華，布置作業

本環節由學生髮言，暢談這節課的收穫與疑惑，並相互評價。最後教師進行歸納、總結、提升，具體總結情況如圖9。

參考文獻：

[1]中華人民共和國教學部制定.普通高中數學課程標準[M].人民教育出版社，2006年6月。

[2]普通高中課程標準試驗教科書數學必修4 [M]．人民教育出版社A版，2007（02）月第2版。

[3]普通高中課程標準試驗教科書數學必修4 教師教學用書[M]．人民教育出版社A版，2007年4月第2版。