數學印象

數學是什麼，這說不清道不明。不過，每一個對數學感興趣的人多多少少都有各自的見解。在本文中，我會坦率地講述數學家眼中的數學印象，比如像我這樣專門研究數學的數學家是如何看待數學的，以便為讀者提供參考。

人們通常認為數學是一門由嚴密邏輯所構建的學問，即便不是與邏輯完全一致，也大致相同。實際上，數學與邏輯並沒有多大關係。當然，數學必須遵循邏輯。不過，邏輯對於數學的作用類似於語法對於文學。書寫符合語法的文章與用語法編織語言、創作小說是截然不同的。同樣，依照邏輯進行推論與使用邏輯構築數學理論也並非同一層面上的事情。

任何人都能理解一般邏輯，如果將數學歸為邏輯，那麼任何人都能理解數學。然而眾所周知，無法理解數學的初中生或高中生大有人在，語言能力優異、數學能力不足的學生十分常見。因此我認為，數學在本質上與邏輯不同。

數感

我們試著思考數學之外的自然科學，比如說物理學。物理學研究的是自然現象中的物理現象，同理可得，數學研究的是自然現象中的數學現象。那麼，理解數學相當於「觀察」數學現象。這裡所說的「觀察」不是指「用眼觀看」，而是通過一定感覺所形成的感知。雖然很難用言語去描述這種感覺，不過這是一種明顯不同於邏輯推理能力的純粹的感覺，在我看來這種感知幾乎接近於視覺。或許我們可以稱之為直覺，不過為了凸顯其純粹性，在接下來的表述中，我將其稱為「數感」。直覺一詞含有「瞬間領悟真相」的意思，所以不太合適。數感的敏銳性類似於聽覺的敏銳性，也就是說基本上與是否聰明無關（本質上無關，但不意味著沒有統計關聯）。不過數學的理解需要憑藉數感，正如樂感不好的人無法理解音樂，數感不好的人同樣無法理解數學（給不擅長數學的孩子當家教時，就能明白這種感覺。對你來說已經顯而易見的問題，在不擅長數學的孩子看來卻怎麼也無法理解，因此你會苦於不知如何解釋）。

在證明定理時，數學家並沒有察覺自己的數感發揮了作用，因此會以為是按照縝密的邏輯進行了證明。其實，只要用形式邏輯符號去解析證明，數學家就會發現事實並非如此。因為這樣最終只會得到一串冗長的邏輯符號，實際上完全不可能證明定理（當然我的重點並不在於指責證明過程的邏輯不夠嚴密，而是在於指出數感能幫助我們省略邏輯推理這個過程，直接引導我們走向前方）。近來經常聽到人們在討論數學感覺，可以說數學感覺的基礎正是數感。所有數學家天生都具有敏銳的數感，只是自己沒有察覺而已。

數學同樣以自然現象為研究對象

也許有人認為將自然現象的一部分作為數學的研究對象太過魯莽。但是，正如數學家在證明新的定理時，通常不會說「發明」了定理，而是表達為「發現」了定理。由此可見，數學現象與物理現象一樣，都是自然界中的固有之物。我也證明過幾個新定理，但我從來不覺得那些定理是自己想出來的。這些定理一直都存在，只不過碰巧被我發現了而已。

經常會有人指出，數學對於理論物理學有著不可思議的奇妙作用。甚至會讓人產生一種觀念，以為所有物理現象都需要依託數學法則而存在。而且，大部分情況下，在物理學理論被發現之前，數學家們早就準備好了該理論所需的數學知識。黎曼空間對於愛因斯坦廣義相對論的作用就是最好的例子。為什麼數學對物理學的作用如此之大？當然，只要解釋說數學是物理學的語言，這個話題就到此為止了。比如，廣義相對論中黎曼空間的作用的確可以說是一種語言，但是數學對於量子力學的作用卻堪稱是一種神秘的魔法，無法單純將其視為一種語言。 打開量子力學的教材，首先是關於光干涉、電子散射等實驗的說明，接著是用波函數（即希爾伯特空間中的矢量）來描述光子、電子等粒子的狀態，最後推出態疊加原理。態疊加原理是量子力學中的基本原理，它表達了如果狀態A 是狀態B 與狀態C 的疊加，那麼A 的波函數是B 的波函數與C 的波函數的線性組合。

什麼是粒子的狀態？例如，粒子加速器中電子的狀態由粒子加速器決定，所以粒子的狀態可以理解成粒子所在的環境。在量子力學中，極複雜的環境也只由一個波函數（矢量）來描述，因此首先需對環境進行簡化和數學化。如何理解狀態A 是狀態B 與狀態C 的疊加？如果是教材中的光干涉等情況，那麼就比較容易理解。不過，在通常情況下說環境A 是環境B 與環境C 的疊加，這就不容易理解了。不確定性原理，例如不可能同時測量一個粒子的位置和它的速度，是通過測量實驗對粒子的干擾來加以說明的，最終表明一個粒子無法同時存在於測量位置的裝置和測量速度的裝置中。換言之，即粒子不可能同時存在兩種環境。那麼如何理解這兩種環境的疊加呢？只能說實在是難以理解。另外，波函數的線性組合運算如同數學中的初級運算一樣簡單。而態疊加原理則主張通過簡單的數學運算來表示各種複雜奇怪狀態的疊加。也就是說，數學運算支配了作為量子力學對象的物理現象。這種數學運算與物理現象的關係，並非是通過解析疊加的物理意義而將其用數學公式表現出來，而是將「波函數的線性組合可以描述狀態的疊加」視為公理，然後依據數學運算來確定疊加的意義。正如費曼（R.P.Feynman ）所言，除了數學之外，沒有其他方法能說明態疊加原理了。我們只能認為量子力學基於數學的無窮魔法，因此我認為物理現象的背後存在著固有的數學現象。

數學是實驗科學

我認為，數學家研究數學現象的意義與物理學家研究自然現象相同。也許有人認為，物理學家需要進行各種實驗，而數學家僅僅在思考而已。不過，這種情況下的「思考」含有「思考實驗」的意思，與考試中對題目的「思考」性質全然不同。考試題目一般是將固定範圍內的已知內容組合在一起，一小時之內肯定能夠解開，所以相當於提供了明晰的思考對象和思考方法。然而，實驗是調查未知的自然現象，因此無法預測結果，甚至無法得到結果。這種實驗的形式 同樣存在於數學中，探究未知數學現象的思考實驗，其思考對象和思考方法都具有未知性。這也是數學研究過程中最大的困難。

最簡單易懂的思考實驗當屬從具體事實中歸納猜想。例如我們嘗試思考一下，偶數最少能表示成幾個素數之和。偶數2 本身是素數，暫且另當別論。除此之外，正如4=2+2，6=3+3，8=3+5，10=5+5，100=47+53……所示，偶數一般能表示成兩個素數之和。根據上述結論，我們可以從中推出定理「任何一個大於2的偶數都可以表示成兩個素數的和」（這個命題就是著名的哥德巴赫猜想，至今未被證明）。如果調查多個事實能夠猜想出定理的形式，那麼之後只要思考如何證明該定理即可，也就是說研究的最初難關已經突破。當然，數學中僅僅依靠積累幾個事實是無法證明定理的，定理的證明必須另外進行思考。

哥德巴赫猜想手稿

初等數論的許多定理就是先由實驗結果引發猜想，然後才得到證明。而且，從19世紀末到20世紀初，恩里格斯（F.Enriques ）、卡斯特爾諾沃（G.Castelnuovo）等義大利代數幾何學家獲得的驚人成果中，依據實驗得到成果的不在少數。托德（J.A.Todd ）在其1930年左右發表的論文中曾明確斷言：「代數幾何是實驗科學。」直到最近1，上述幾位數學家的定理才全部得以嚴密證明。不過值得注意的是，儘管他們當時給出的定理證明不夠完全，但是定理本身卻是正確的。

發現新定理

現在數學的研究對象一般都非常抽象，實例也十分抽象，讓人難以理解。所以依靠具體事實歸納來猜想定理的方式，在大多數情況下已經難以適用。目前的情況下，關於發現新定理的思考實驗方式，我本人也是不得而知。如果將精力都花費在思索新的思考方式上，恐怕難有所得。實際上很多時候無論如何思考都得不到相應的結果。這樣看的話，是否可以說數學研究是一份極其困難的工作呢？不過這倒也未必。有時候感覺自己什麼也沒做，那些應當思考的事情卻很自然地呈現在眼前，研究工作也得以順利推進。夏目漱石在《夢十夜》中對運慶 [1] 雕刻金剛手菩薩像的描述，充分表現了這種感受。這部分內容引用如下：

[1] 日本鎌倉時代(1185 - 1333)的高僧, 雕刻技藝十分精湛. - 編者注

運慶在金剛手菩薩的粗眉上端一寸處橫向鑿刻，手中的鑿刀忽而豎立，轉而自上而下鑿去。鑿刀被敲入堅硬的木頭中，厚厚的木屑應聲飛落，再仔細一看，金剛手菩薩怒意盈盈的鼻翼輪廓已清晰呈現。運慶的運刀方式無拘無束，雕琢過程中絲毫沒有任何遲疑。

「他的手法真如行雲流水，鑿刀所到之處，居然都自然地雕琢出了內心所想的眉毛、鼻子樣子。」我感慨至極，不禁自言自語道。

結果，方才那位年輕男子回應道：

「什麼呀，那可不是鑿刻出的眉毛、鼻子，而是眉毛、鼻子本來就埋藏在木頭中，他只是用鎚子、鑿子將其呈現出來。就像從泥土中挖出石頭一樣，當然不會出現偏差。」

在這種時刻，我常常感到世間沒有比數學更容易的學科了。如果遇到一些學生在猶豫將來是否從事數學方面的工作，我就會想建議他們「一定要選數學，因為再沒有比數學更容易的學科了」。

漱石的故事後續如下：

這時，我恍然大悟，原來這就是雕刻藝術。這樣的話，好像誰都可以做這個。想到這裡，我突然也有了想要雕刻一座金剛手菩薩像的念頭，於是回到家中，從後院里堆積的木柴中選了一塊木頭，開始動手雕琢。然而事與願違，雖鑿刻良久，木頭中卻仍然尋不到金剛手菩薩的蹤影。我突然醒悟，明治時期的木頭裡根本就不會藏有金剛手菩薩。

數學也一樣，普通的木頭裡沒有埋藏著定理。不過，僅僅從外表觀察，並看不出裡面究竟埋著什麼，所以只好嘗試雕刻看看。數學中的雕刻就是繁瑣的計算與查閱文獻，絕不是什麼簡單的事情，而且在大多數情況下，都會竹籃打水一場空。因此數學研究非常耗時，而且我覺得運氣也是一個影響研究成敗的重要因素。

定理與應用

現今的數學，通過具體事實的歸納來猜想定理極其困難，不僅如此，定理與具體事實的關係也在發生變化。在大學低年級的數學中，定理之所以是定理，是因為其可應用於許多事實中，沒有應用的定理則多沒有意義。好的定理可以說就是應用廣泛的定理。從這個意義上來說，函數論的柯西積分定理是最好的數學定理之一。但是在最近的數學中，幾乎很少看到擁有廣泛應用性的定理。豈止如此，許多定理幾乎毫無應用性可言。正如某君不客氣地評價：「現代數學只有兩種，有定理卻沒有應用實例的數學與只有應用實例卻沒有定理的數學。」從現代數學的立場出發，「不管有沒有應用，好的定理就是好的定理」，不過我卻總覺得沒有應用的定理多少還是有點兒美中不足。

數學的唯一理解方法

即使不做研究，只是閱讀有關數學的書和論文，也非常費時。如果只讀定理部分而跳過證明過程的話，似乎很快就能讀完兩三本書。但是實際上，跳過證明的閱讀方式如浮光掠影，留下的印象非常淺，結果多會一無所得。想要理解數學書，只能一步一步遵循證明過程。數學的證明不是單純的論證，還具有思考實驗的意味。所謂理解證明，也不是確認論證中是否有錯誤，而是自己嘗試重現思考實驗的過程。換言之，理解也可以說是自身的體驗。 不可思議的是，除此之外數學沒有其他的理解方法。物理學的話，即便是最新的基本粒子理論，只要閱讀通俗讀物，儘管讀者與專家的理解方法不同，多少還是能大致理解或者至少自己覺得好像理解了。這就是外行人的理解方法，它與專家的理解方法不同。但是數學不存在外行人的理解方法，所以沒人可以寫出關於數學最近成果的通俗讀物。 （第一節完）

上文節選自《惰者集：數感與數學》, 已獲圖靈許可, [遇見數學] 特此表示感謝!