2018年高考數學壓軸題函數與導數主幹整合歸納擴展

基礎知識：

1．函數及其圖象

(1)定義域、值域和對應關係是確定函數的三要素，是一個整體，研究函數問題時務必遵循「定義域優先」的原則．

(2)對於函數的圖象要會作圖、識圖和用圖，作函數圖象有兩種基本方法：一是描點法；二是圖象變換法，其中圖象變換有平移變換、伸縮變換和對稱變換．

2．函數的性質

(1)單調性：單調性是函數在其定義域上的局部性質．證明函數的單調性時，規範步驟為取值、作差、變形、判斷符號和下結論．複合函數的單調性遵循「同增異減」的原則；

(2)奇偶性：奇偶性是函數在定義域上的整體性質．偶函數的圖象關於y軸對稱，在關於坐標原點對稱的定義域區間上具有相反的單調性；奇函數的圖象關於坐標原點對稱，在關於坐標原點對稱的定義域區間上具有相同的單調性；

(3)周期性：周期性也是函數在定義域上的整體性質．若函數滿足f(a＋x)＝f(x)(a不等於0)，則其周期T＝ka(k∈Z)．

3．函數的零點與方程的根：(1)函數的零點與方程根的關係：函數F(x)＝f(x)－g(x)的零點就是方程f(x)＝g(x)的根，即函數y＝f(x)的圖象與函數y＝g(x)的圖象交點的橫坐標．

(2)零點存在性定理：如果函數y＝f(x)在區間[a，b]上的圖象是連續不斷的一條曲線，且有f(a)·f(b)<0，那麼，函數y＝f(x)在區間(a，b)內有零點，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0, 這個c也就是方程f(x)＝0的根．

注意以下兩點：①滿足條件的零點可能不唯一；②不滿足條件時，也可能有零點.

4．導數的幾何意義：(1)函數y＝f(x)在x＝x0處的導數f′(x0)就是曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處的切線的斜率，即k＝f′(x0)．

(2)曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處的切線方程為y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．

5．函數的單調性與導數：如果已知函數在某個區間上單調遞增(減)，則這個函數的導數在這個區間上大(小)於或等於零恆成立．在區間上離散點處導數等於零，不影響函數的單調性，如函數y＝x＋sin x .

6．函數的導數與極值：對可導函數而言，某點導數等於零是函數在該點取得極值的必要條件．例如f(x)＝x3，雖有f′(0)＝0，但x＝0不是極值點，因為f′(x)≥0恆成立，f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上是單調遞增函數，無極值．

7．閉區間上函數的最值

在閉區間上連續的函數，一定有最大值和最小值，其最大值是區間的端點處的函數值和在這個區間內函數的所有極大值中的最大者，最小值是區間端點處的函數值和在這個區間內函數的所有極小值中的最小者.

學法導航

1.已知函數的解析式，判斷其圖象的關鍵是由函數解析式明確函數的定義域、值域、單調性、奇偶性、周期性等，以及函數圖象上的特殊點，根據這些性質對函數圖象進行具體分析判斷.

2.(1)運用函數圖象解決問題時，先要正確理解和把握函數圖象本身的含義及其表示的內容，熟悉圖象所能夠表達的函數的性質.(2)圖象形象地顯示了函數的性質，因此，函數性質的確定與應用及一些方程、不等式的求解常與圖象數形結合研究.

3.指數函數、對數函數的圖象和性質受底數a的影響，解決與指數、對數函數特別是與單調性有關的問題時，首先要看底數a的範圍.

4.利用導數的幾何意義解題，主要是利用導數、切點坐標、切線斜率之間的關係來進行轉化，其中關鍵是確定切點的坐標.以平行、垂直直線斜率間的關係為載體求參數的值，則要求掌握平行、垂直與斜率之間的關係，進而和導數聯繫起來求解.

5．函數的零點、方程的實根、函數圖象與x軸的交點的橫坐標是三個等價的概念，解決這類問題可以通過函數的單調性、極值與最值，畫出函數圖象的變化趨勢，數形結合求解.

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