西瓦定理的證明
西瓦（1647—1734）,義大利著名數學家，在他的著作中，記載有當今所說的西瓦定理。由於譯音有異，此定理又稱錫瓦定理，塞瓦定理等。此定理有逆定理。西瓦定理的應用十分廣泛，還可以解決幾何題中一些難題。證明過程，筆者整理如下：
西瓦定理：過△ABC各頂點引共點三直線交對邊（或其延長線）於D、E、F，則：BD/DC×CE/EA/AF/FB＝1
結論的特點：D、E、F分別為BC、CA、AB的分點（內分點或外分點），若把每條邊的兩個端點叫做起點和終點，則每條邊上兩條線段的比為：起點到分點，分點到終點的兩線段之比。
證明：設共點為O，當O在△ABC內部時，如圖1所示：
BD∶DC＝S△BDO∶S△CDO＝0.5OBODsinα∶0.5OCODsinβ＝OBsinα∶OCsinβ
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∴BD∶DC＝OBsinα∶OCsinβ；
同理：CE∶EA＝OCsinγ∶OAsinα；AF∶FB＝OAsinβ∶OBsinγ；
當O點在△ABC外部時，如圖2所示：
分析如下：首先我們要搞清楚每條邊上是兩條線段來比。對於BC來說，D是外分點，兩條線段是BD（起點分點）、DC（分點終點）；對AC來說，E是內分點，兩條線段是CE（起點分點）、EA（分點終點），對於AB來說，F是外分點，兩條線段是AF（起點分點）、FB（分點終點），還要注意每條邊的起點終點可按逆時針方向進行，對BC而言，B是起點，C是終點，對CA而言，C是起點，A是終點，對AB而言，A是起點，B是終點。
BD∶DC＝S△BDO∶S△CDO＝0.5OBODsin（β＋γ）∶0.5OCODsinβ
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＝OBsin（β＋γ）∶OCsinβ
即 BD∶DC＝OBsin（β＋γ）∶OCsinβ；
同理：CE∶EA＝OCsinγ∶OAsinα；
AF∶FB＝OAsinβ∶OBsin（α＋β）； ∴
由(1),(2)西瓦定理得證.
西瓦定理有逆定理
如圖3，已知：D、E、F分別是△ABC中BC、CA、AB上（或延長線上）的點，且BD/CD×CE/EA/AF/FB＝1，求證：AD、BE、CF交於同一點。
證明：設BE、CF交於點O，連結AO並延長交BC於D′，由西瓦定理得：
BD′/D′C×CE/EA/AF/FB＝1，∵BD/DC×CE/EA/AF/FB＝1，（已知） ∴
∴BD＝BD′，∴D，D′重合。故AD、BE、CF經過同一點。
利用西瓦定理證明三角形的三條中線交於一點，三條高線交於一點，三條角平分線交於一點，則容易得多。