環面：我們和數學家都喜歡的甜甜圈

原文作者，Evelyn Lamb，數學及科學普及自由作家。

翻譯作者，Jessie儀，哆嗒數學網翻譯組成員。

校對，donkeycn。

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數學總是將可定向虧格比作一種甜點，即拓撲例子里最美味的那種。

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啊，這個簡單的環面是拓撲學家們最初的朋友，它也展示了理論與實踐的差距。環面有很多特性而且在數學的各個領域都會出現。第一，他有一種拓撲的特性。拓撲學並不關心你看它的具體形狀像什麼，它只關心大體上的特徵。具體來講，它關心物體在沒被撕裂或粘合的情況下，那不論是被拉伸還是被壓縮都不改變的方面。在拓撲世界中，環面是一種帶著一個洞的二維空間，或者說是一個曲面。（更高大上說來，它是一個虧格為一的可定向曲面。）急於將他們自己與更吸引人的烘焙學科聯繫在一起的拓撲學家們將環面描述為甜甜圈，雖然在某種無聊的精確角度來看，它其實僅僅是甜甜圈表層的糖漿塗層。（甜甜圈的麵包胚是一種叫做實心環面的三維空間。）

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我們經常以一個被完美充起的甜甜圈來代表環面，但是拓撲學家們偏向於以一種更抽象的方式來描繪它。在下面這張圖片中，我們將它畫成帶著幾個標記的長方形，這些標記叫做特徵點。

圖中上面帶「A」的箭頭所對應的邊和下面帶「A」的箭頭所對應的邊將會被粘合在一起，左面帶「B」的箭頭所對應的邊和右面帶「B」的箭頭所對應的邊將會被粘合在一起。

正如在經典遊戲小行星（Asteroids）中，當你從長方形上方的邊走出長方形時，你會在下方的邊上再次出現；當你穿過長方形的右邊時，你會在左邊重新現身。這幅圖儘管不如甜甜圈那麼令人垂涎，但仍然向我們展示了環面所有的重要拓撲性質。

這幅平面的長方形圖片也良好承擔了通向另一個環面生命的責任：作為幾何物體的生命。不同於拓撲學，幾何學確實關注實際的形狀與距離。一個「環肥」的環面和一個「燕瘦」的環面儘管在拓撲概念上相同，但就幾何概念而言，是不一樣的。

幾何學家們之所以關注這張環面的長方形表示，是因為本質上這是一個平坦的有限平面，就像一個無限平面。如果你曾不愉快地意識到格陵蘭島其實只有非洲大陸面積的7%，而不是和非洲面積一樣大，你潛意識裡就已經明白了一個事實：球面不可能被保持距離的展到平面上。這是因為球面曲率為正的，而平面是平的（註：曲率為0）。同樣存在一種負曲率的曲面，他們也不可能被毫不扭曲地扯平。這個長方形圖片展示了「環面是平的」這個事實。那麼，這可就太好了，因為這樣的話，它就能成為一個三維空間中實實在在存在平坦曲面，從而我們能直接觀察到它；而不只是把它畫在紙上然後還需要運用我們的想象力去想象。我們可以試著通過操作那些長方形上的被標記的那些邊來這麼做。我們從一個長方形開始。

第一次粘合把一張平坦的白紙變成了一個圓柱體。

第二次粘合將圓柱兩端連在了一起。

實際上操作起來還是有些困難的。得到這個環面並不像計劃那麼順利。這是一個理論與現實的不和諧碰撞。

當它們進入現實世界，當一個數學對象進入現實世界后，一般來講，它很難再保持完美。我們沒法畫出一個嚴格意義圓，而且那個我們用來畫圖的曲面，也並非一個嚴格意義下的二維對象。但專心致志與優質圓規可以讓我們畫出與我們目標足夠接近的圓。然而，環面，那可就是個噩夢了。

所以，我們到底能不能把環面放進三維空間中而不改變任何距離？

我們當然能！但是這沒有你所希望的那麼容易。

一個選項是，我們放棄那個完美平滑的曲面。在平面上，那個長方形沒有任何摺痕，但如果我們搞出一些來，我們就有處下手了。這麼乾的方法有很多。幾年前我就做了一個。

數學3D列印的大魔法師Henry Segerman有一個脊被接合在一起的優秀例子。

要是我還不滿足呢？要是我想把這些不和諧不雅觀的摺痕除掉呢？嗯，我們也能這麼干！不過這就有點複雜了。在2012年，Vincent Borelli, Saïd Jabrane, Francis Lazarus, Boris Thibert, 以及Damien Rohmer發表了第一批沒有任何尖角的三維空間平坦環面的圖片。他們寫道：「這些圖片展露了一個令人意想不到的對象，處於分形和普通曲面的中間：一個平滑的分形。」換句話說，他們將分形的無限特質與一個平滑過程結合到了一起，從而避免了尖角的出現。

最後，這個「平坦的」環面看起來一點也不平坦，但它成功體現了它的字面意思。所有的距離都與他們還在那個平面上的長方形時完全一樣。（若想進一步了解這種平滑分形的環面，請參見https://www.youtube.com/watch?v=5qu3WETuf6c）

環面還有很多其他變體：在拓撲學中，它是乘積空間中的最初例子之一，也是在運用 Seifert-van Kampen定理的第一次有用嘗試。在動力學中，它是學生們最初碰到並能在其上「打撞球」的平移曲面之一。在我所研究的領域，Teichmüller 理論，這是少有的幾個簡單到你真正可以理解並進行計算其Teichmuller空間的空間之一。一般來說，環面看上去就是那種每當遇到了新觀點時，值得用千百種定理來描述的例子。帶著感恩節季的精神，就讓我們花點時間來感謝環面，因為它是讓我們無論在二維幾何還是拓撲學中都可以染指的好例子。（畢竟，數學總是比一個可定向虧格為一的甜點要好。）

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