點陣，玩在所有面積公式之前
新的一年，從陰影面積……不，從陰影面積里如何去除陰影開始！
物體的表面或圍成的平面圖形的大小，曰面積。此定義在人教版數學教材中，出現在小學三年級。
常用辭彙，其實想形容清楚並不容易，重要的還是感性認識。舉了一系列生活實例之後，細究於各種面積單位之前，點陣是一個能夠發揮關鍵作用的絕佳工具。
最基本的出發點：點陣中最小的正方形，面積為1（注意此時原則上還沒有學習任何面積單位），或者按照學術性的說法——「單位1」。
長方形
第一個課題：畫兩個面積為4的長方形，形狀不可以相同。
這個事情應該不難做到，成果大致如下圖所示。
其間一定會有人因為覺得正方形並不是長方形而排斥右圖。關於這個坑爹的問題，前文已有鋪墊，歡迎請查看歷史消息。
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不過，如果有人未經任何提示，為了不畫出正方形而處心積慮地畫出了下圖……
那麼這是個小天才，以下教學環節基本可以勝任助教之職。
取半
第二個課題：畫兩個面積為2的三角形，形狀不可以相同。
經過片刻思考，應該會有一部分同學自行將剛才的長方形沿對角線一刀劈開：
能馬上畫出來的應該是具有不錯的探索能力，那麼是不是只有這兩種呢？可以要求他們再多畫出幾種，順便等等反應慢的童鞋。
這個門檻比之前的略大，但也應該有個別人能自己研究出來。講解嘛，切開，兩邊都是黑白各半，反應慢的童鞋大多也能理解。
直接畫三角形
下面，沒有長方形作為參考了：請直接畫出面積為3的三角形，儘可能多畫幾種。
正常情況下，完成這個任務的同學應該能達到一半。先想好一個面積為6的長方形，然後取半。
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至此，我們已經從「單位1」向前拓展到了任意長方形和顯然可以視作它們面積一半的平穩三角形，在後續研究中，這些基本認知將大派用場。
傾斜的鈍角三角形
再回到最簡單的情況：請畫出面積為1的三角形，儘可能多來幾種。
根據之前的研究成果，畫出下面兩種並不困難。
那麼到底能畫出多少種呢？很多同學會堅定地認為只有上面這兩種，然而……
這樣的形狀可以通過減法來算出它們的面積，整體是基本圖形，灰色陰影也是基本圖形。所以，具體能畫出多少種，取決於我給你的點點是不是足夠多。
注意，這個階段如果留作業，我多次在交回來的作業本上看到家長標註的「底×高÷2」的字樣。顯然，他們的輔導有點跑偏，請不要這樣做。
沒有公式的牽絆，會更有利於他們在加減組合上不斷追求。而且，畫三角形的高，這事兒正常情況下要再過一陣子他們才會接觸到，而且頗費周章。
任意三角形
當你在點陣中隨意畫一個姿態歪斜的三角形：
通過前面的學習，很多同學會下意識地覺得這個還是外框長方形的一半，這需要耐心指出區別。另外，腦子裡只有「底×高÷2」的同學，這時也將束手無策。
思路上，和「傾斜的鈍角三角形」一樣，這個圖形也可用「基本圖形減去基本圖形」的方式計算出來。
外框長方形是6，三個邊角料分別是1、1、和1.5，所以，紅色三角形的面積就是：
6－1－1－1.5＝2.5
好了，理論上他們現在已經可以計算出點陣圖上任意直線形的面積了，只要頂點都在事先點好的點上即可。再扯大一點練習一下：
多加幾條邊？減法用慣了，別忘了加法有時更加直觀：
比如這個圖形，外剪或內拼，都很方便。
指定面積的一般四邊形
請畫出面積為6的四邊形，不可以是長方形。
這個時候，大部分同學會採用誤打誤撞的方式，面積和邊數兩個條件往往不能一起滿足。
這裡要落實的重要思路就在於，當有兩個條件要滿足時，先緊緊抓住一個不鬆手，再去湊另一個。比如，先畫一個面積為6的長方形，然後想想怎樣才能保持面積不變，讓它變得不是長方形呢？
一定會有人知道，這是個梯形。雖然並不是所有的梯形他們都能認識。
當然，還有平行四邊形：
另一種思路是，先想好形狀，比如3＋3＝6，再用兩個剛才畫過的三角形拼成一個四邊形：
到了初中，這玩意兒叫做「控制變數法」。
家庭作業是：畫三個面積為5的五邊形。
第二天我欣喜地看到了這樣的清晰思路：
當然，還是難免有大量的同學對誤打誤撞的方式甚為留戀。
實物作畫
最後，隨著邊數的增加，自由度和藝術性也在大大提升。
這個階段，最後一項是面積為8的八邊形，附加條件是，你得讓我看出你畫的是個啥東西。也就是說，先想好八邊形到底能畫個啥，再去湊面積。
經過一番引導，我收到了這樣的成果：
還有這個星星（稍改改，能不能變成軸對稱的四角星？）：
比較吃力的，畫了這個，而且他畫的時候並沒有想好這是個啥：
「嗯，像個鎚子。」我打算順勢幫他交個差。
不過，他好像並不知道什麼是鎚子……
根據學生的情況差異，整個過程大概可以持續3到5個課時。其間你會發現他們有很多誤區需要引導糾正，許多腦洞需要一一捅開，此處不再贅述。
事情就此告一段落。不過兩年之後，點陣畫圖還有第二波大用場。
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