數學演義&數學之美

2016-11-28
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古時，數學內的主要原理是為了研究天文，土地糧食作物的合理分配，稅務和貿易等相關的計算．數學也就是為了了解數字間的關係，為了測量土地，以及為了預測天文事件而形成的．這些需要可以簡單地被概括為數學對數量、結構、空間及時間方面的研究．

西歐從古希臘到16世紀經過文藝復興時代，初等代數、以及三角學等初等數學已大體完備．但尚未出現極限的概念．

17世紀在歐洲變數概念的產生，使人們開始研究變化中的量與量的互相關係和圖形間的互相變換．在經典力學的建立過程中，結合了幾何精密思想的微積分的方法被發明．隨著自然科學和技術的進一步發展，為研究數學基礎而產生的集合論和數理邏輯等領域也開始慢慢發展．

在人類歷史的長河中，首先認識的是具體的數量（簡稱量），如兩隻手，三頭牛等，經過漫長的發展階段，才離開了具體的量，第一次抽象出一般的數，如1,2,3,1/3,1/5等，因此，量是具體的，數是抽象的，所以人類從量到數的認識，第一次飛躍產生了算術。

算術的原義是數和數數的技術和學問，算術是研究數及數集上的去處的數學分支，主要內容有：

數的概念；
計算方法；
計算工具；
各種數的運算
數集和公理結構；
數的性質；
有關簡單應用題的解答；

人類認識數的順序：自然數（自然界存在的數）→分數（小數）→零→負數→無理數→虛數；（實數：實實在在存在的數）。

由於人們生活、生產和科學技術以及數學本身的需要，第一次抽象出來的數還不夠，如需表示數量關係的一般規律，用數就難於表達，這就必然引起數學史上的第二次抽象，即用字母表示已知數或未知數，字母的引入就產生了代數。

有了字母表示數，代數學中的代數式、方程就出現了；

有了字母表示數，數學中的定理、性質、定律、法則、運算律等都能用公式簡潔地表示出來了。

有了字母表示數，使人類擺脫了使用具體數字研究問題的局限，提供了提示數量關係一般性的可能，有助於人類探索事物的內在聯繫。

代數不僅用數也用字母進行計算，推進了代數問題的一般性討論，從而更帶有普遍數、形式更回抽象，應用更加廣泛；代數學的特點是引進了未知數（用字母符號表示數），並對未知數加以運算，根據問題的條件列出方程，然後解方程求出未知數的值。算術也有未知數，其未知數就是問題的答案，一切運算只允許對已知數進行。

初等代數，又叫古典代數，它是以字母代表數，並以數的運算規律為依據進行，數、字母，及字母間表達式的運算，初等代數主要研究常量，研究一元高次方程的解法問題。

算術	代數
數的算術	類的算術
數值的演算	函數的演算
離散固定的數	方程固定的解

高等代數研究變數，以行列式、矩陣為工具，研究一次多元議程所組成的議程組的解法問題，以及多項式。

初等代數與高等代數也有區別，前者主要研究字母運算規律及其代數方程；後者主要研究多項式和代數方程根的性質等。

代數algebra的發展：文字代數→簡單代數→符號代數→高等代數。

I 文字代數，即完全用文字而不有符號敘述。如我國的古算就是用語言文字敘述與解答問題的，使用起來很不方便；

II 簡字代數（亦稱半符號代數），用縮寫文字。

III 符號代數，16世紀，符號代數最終由法國數學家韋達完成，再歷經幾百年，由法國數學家笛卡兒等完成了與現代寫法一致的符號代數。

VI 高等代數：行列式、矩陣、多項式；

方程是實行代數中的一個中心問題，含有未知數的等式叫方程。

在初等或高等數學中，函數是一個至關重要的概念。隨著常量數學進入變數數學時期，函數的概念產生了。變數的函數是由這些變數與常量所組成的解析表達式。

函數關係的建立：表→圖→解析式；

變化的過程是離散的	數列
變化的過程是連續的	函數（氣溫）
變數關係是相關的	回歸關係
變數關係是確定的	函數關係

三角函數：是以研究平面三角形和球面三角形的邊和角的關係，起源於天文、測量、航海等實際需要。

幾何geometry是研究物體形狀、大小及位置關係的一個數學分支。「幾何」一詞是希臘文中「土地」和「測量」二字合成的詞，意即土地測量。因此幾何學直接源於農業生產的需要。

－2－數論

親和數：公元6世紀，畢達哥拉斯發現了220的所有真因數（包括1）1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110的和是284,而284的所有真因數1,2,4,71,142的和是220,像220和284這樣的一對自然數稱為親和數。

1636年，法國人費馬發現了第2對：17295和18146；

1638年，笛卡爾：9437056和0363584；

1747年，歐拉一口氣找到了20對，後來又擴展到60對；

有了計算機后，目前已找到1000對以上；

完數：等於它的約數之和（不包括自身），如6,28,496.

28（1+2++4+7++14）

質數：只有1和它自身兩個約數的整數稱為質數；古希臘數學家歐幾里得把自然數分成1,質數和合數，並證明質數有無數多個。同時也證明了「任何一個大於1的自然數要麼本身就是質數，要麼能分解成幾個質數的連乘積（合數）」。所以說，質數是構成自然數的「單位」。

約數：是可以將另一個整數整除的數；

超越數：如果一個數不可能是代數方程的解，則該數是一個超越數。

－3－相關概念

自然數：全體正整數組成的集合，N={1,2,3,…,n, …}

整數：

Z={0, ±1, ±2, ±3, …, ±n, …}

有理數：

無理數：無法表示成分數的數（如2的平方根）；

虛數：

涉及到的數，它們和實數一起可以構成複數；

代數：用字母代替數字，從而將算術擴展；

無窮小量

若變數的u的極限為0,則稱u為無窮小量。如拓樸：是幾何的一個分支，它所處理的是曲面和一般形狀的性質，它不涉及長度和角度的測量，它所關注的是當形狀發生變化時，那些不會改變的形狀，它允許我們對形狀沿任何方面進行擠壓和拉伸。迭代：給定一個初始值a，將一個操作不斷重複，該過程稱為迭代。如，給定初始值3,並重複加5的操作，我們將得到迭代序列：3,8,13,18,

分佈：在某個試驗或場景中事件發生概率的範圍，如泊松分佈，給出了小概率事件發生r次的概率。

－4－最重要的數學方法

笛卡爾的解析幾何；
牛頓和萊布尼茨的微積分；
對數；

4.1 解析幾何又叫坐標幾何，它是通過建立坐標系，用代數的方法研究幾何；圖形性質的幾何學，是17世紀法國的笛卡爾(Descartes,1596-1650)(圖形→方程)和費馬(方程→圖形)建立的。

笛卡爾解析幾何的中心思想：首先建立一種普遍的數學，使算術、代數、幾何統一起來，指出平面上建立一種坐標系之後，幾何點和實數對(x,y)之間建立一一對應關係，從而可以用實數對(x,y)來描寫每個幾何點。

笛卡爾把曲線看成動點的軌跡，從而動點坐標(x,y)就成了變數，且它們之間存在一定關係，這個關係就是以x、y為變數的代數方程的每一組解(x,y)都對應於一點。不同的解對應於不同的點，這些點的全體就構成了一條曲線，從而形成了笛卡爾關於幾何問題與代數問題可以互相表達的，亦會稱函數與曲線的互相對應思想。因此，研究幾何問題，可以歸結為相應的代數問題，笛卡爾把以住對立著的兩個研究對象「數」和「形」起來了，並在數學中引入了變數的思想，從而開拓了變數數學領域，即代數與幾何相互取長補短。

4.2 對數是天文學與三角學相結合的產物，英國數學家納皮爾（1550-1617）為了減輕人們繁重單調的計算，創造了對數這一術語。

利用對數可以將乘法化簡為加法，除法為減法，這樣就產生了對數表，選擇什麼樣的」a」可以使對數表最簡單，是a=10，還是a=1.00001?最後發現a=e=2.71828…所編製的自然對數表是最簡單的。

4.3 微積分的出現（古典算術、幾何、代數方法，甚至解析幾何，對自然界的運動和變化都無能為力，變數和函數的引入，自然科學開始轉向研究自然界的運動和變化，以窮竭法（無限逼近的極限方法）先分割后求和求曲邊形的面積，先有了積分，然後有了微分。

－5－數學之美