高斯投影基本知識概述

高斯-克呂格投影(以下簡稱高斯投影)是一種等角投影，應用比較廣泛，被許多國家用作地形圖的數學基礎。高斯投影的特點是中央經線和赤道投影是垂直的直線，中央經線投影后保持長度不變，投影無角度變形。由於高斯投影是在地球橢球面上採用等角橫切橢圓柱進行投影，因此無法利用球面坐標計算，其公式計算十分複雜和煩瑣。為此，在保留高斯投影的前兩個條件下，本文研究了一種等距離球面高斯投影，即一種雙重高斯投影：首先從橢球面投影到等距離球面上，再從等距離球面上採用橫軸圓柱投影到平面上。等距離球面高斯投影可直接利用球面坐標計算，簡化了各種與投影相關的計算。本文著重分析等距離球面高斯投影的各種數學性質和變形情況，並與高斯投影進行比較，進而說明等距離高斯投影的可用性。

1、等距離球面高斯投影

1.1 等距離球面高斯投影公式

若先將地球橢球面按一定法則投影到一個球面上，經度坐標l不變，球面緯度坐標φ是大地緯度B的函數；再將球面按照等角橫切圓柱投影到平面上(球面高斯投影)。這樣的雙重投影顯然滿足中央經線和赤道投影是垂直的直線，若還要中央經線投影后保持長度不變，由於球面按照等角橫切圓柱投影到平面上時中央經線投影后保持長度不變，因此地球橢球面投影到球面上時也必須要保持中央經線投影后長度不變，那麼這個球面就必然是等距離緯度球面，即球面緯度坐標φ就是等距離緯度ψ。

等距離球面高斯投影是一種雙重投影，先投影到球面上，再投影到平面上，如圖1所示。由球面高斯投影(球面橫墨卡托投影)的閉合公式，從等距離球面上投影到平面時，對球面上的一點(ψ, l)，對應的投影平面坐標(x, y)為

式中，(ψ, l)為點在等距離球面上的經緯度；(x, y)為投影平面坐標；Rψ為等距離球半徑

從地球橢球面上投影到等距離球面上時，經度坐標不變，緯度坐標ψ是大地緯度B與橢球第一偏心率e的函數，等於子午線弧長除以等距離球半徑，即ψ=X/Rψ，具體展開式為

式中，等距離緯度關於大地緯度的正解展開式係數βk也可參考文獻[8-9]。

結合式(1)及等距離緯度關於大地緯度的展開式，即等距離球面高斯投影公式，聯繫等距離緯度反解公式，可得球面高斯投影的反解公式為

式中，等距離緯度關於大地緯度的反解展開式係數βk′可參考文獻[8-9]。

1.2 等距離球面高斯投影經緯網

投影平面上所建立的經緯網構成了地圖投影的數學基礎。根據投影公式(1)，經過推導，消去經緯度坐標，可得等距離球面高斯投影子午線和緯線圈的投影方程

取CGCS2000參考橢球，根據式(1)，可以繪出等距離球面高斯投影的子午線和緯線圈投影示意圖，如圖2所示。

從圖2可以看出，等距離球面高斯投影的子午線投影為匯聚到極點的曲線，在極點附近接近於直線；等距離球面高斯投影的緯線圈投影接近於橢圓的曲線，將南北半球的緯線圈投影拼合在一起可以得到類似於橢圓的閉合曲線；等距離球面高斯投影的經緯線投影仍然正交。

2、等距離球面高斯投影變形分析

2.1 長度變形

儘管等距離球面高斯投影在從球面投影到平面時是等角投影，但從橢球面投影到球面時是等距離投影，而非等角投影，因此橢球面上的各個方向長度比不相等。由於等距離球面高斯投影的經緯線投影仍然正交，故經緯線長度比m、n與極值長度比a、b一致。為分析等距離球面高斯投影的長度變形，先求得一階偏導數

式中，等距離緯度對大地緯度的導數閉合形式為(M為子午圈曲率半徑)

或有級數形式

由式(6)可得

因此，經緯線交角投影后的角度與90°的差值ε為

表明等距離球面高斯投影的經緯線投影仍然正交。

經緯線長度比m、n為

式中，r=Ncos B，N為卯酉圈曲率半徑。

根據式(11)，可以繪出一個6°條帶內等距離球面高斯投影的經緯線長度比(極值長度比)示意圖，如圖3所示。由於等距離高斯投影在南北半球內的投影對稱，故只分析北半球的情況。

從圖3可以看出，在[－3°, 3°]帶內，等距離球面高斯投影經線長度比m隨緯度增大逐漸減小，隨經度增大逐漸增大，等距離球面高斯投影經線長度比n隨緯度增大逐漸增大，隨經度增大逐漸增大；長度變形m－1、n－1絕對值均隨緯度增大而減小，m－1絕對最大值在邊界處，為0.001372，n－1絕對最大值在原點處，為0.001676，絕對值均在0.001676範圍內，因此長度變形vμ=±max(|m－1|, |n－1|)絕對最大值不超過0.1676%；m始終大於等於1，n始終小於等於1，說明m是極大長度比，n是極小長度比。長度變形m－1為正數，隨點遠離極點而增大，長度變形n－1為負數，絕對值隨點遠離原點而減小。另外，在更大的橢球面範圍內，m－1為正數，n－1有正有負，但m始終大於n。

2.2 角度、面積變形

等距離球面高斯投影並不是一個等角投影，存在一定的角度變形，最大角度變形ω為

由式(12)可知，ω僅與緯度坐標有關，與經度坐標無關。根據式(12)，可以繪出一個6°條帶內等距離球面高斯投影的角度變形示意圖，如圖4所示。

從圖4可以看出，等距離球面高斯投影的角度變形都隨緯度增大而減小，與經度無關，最值在緯線圈B=0即赤道處，約為0.09609°=5.765′。

等距離球面高斯投影有面積變形，面積比P為

面積變形

根據式(14)，可以繪出一個6°條帶內等距離球面高斯投影的面積變形示意圖，如圖5所示。

從圖5可以看出，在[－3°, 3°]帶內，面積變形較小，絕對值最大值在原點處，約為0.001676。

2.3 子午線收斂角

任意一點處的子午線收斂角是過該點所引經線與X軸正向的夾角，根據文獻[1]，結合式(6)，可推得投影平面第一象限內的子午線收斂角為

結合投影反解式(4)，式(15)還可以表示為投影平面坐標(x，y)的函數

經緯線長度比m、n，以及角度/面積變形也可以表示成(x，y)的函數。

根據式(15)，可以繪出一個6°條帶內等距離球面高斯投影的子午線收斂角示意圖，如圖6所示；由於子午線收斂角在南北半球也有區別(互為正負關係)，故繪出一個6°條帶全部區域內的子午線收斂角示意圖。

從圖6可以看出，在6°條帶內，子午線收斂角絕對值隨經緯度絕對值增大而增大，在原點處為0，隨點遠離極點逐漸增大，在邊界處(B, l)=(±90°, ±3°)處取得最大值, 為±3°。

3 、與傳統高斯投影比較分析

可以看出，等距離球面高斯投影保持了投影前後中央子午線無變形和投影后中央經線仍與赤道垂直的性質，但並不是嚴格意義上的等角投影，與傳統高斯投影還是有區別的。為此，下面研究二者之差異。

設高斯投影平面坐標為(x′, y′)，投影長度變形、角度變形、面積變形及子午線收斂角分別為vμ′、ω′、vp′、γ′(ω′=0)。根據相應的投影和變形計算公式，可以繪出高斯投影變形參數vμ′、vp′在一個6°條帶內的示意圖，如圖 7、圖 8所示。由於對稱性，故只研究[0, 3°]條帶內等距離球面高斯投影與傳統高斯投影的變形差異，設經線長度變形差異Δvμ=(m-1)-vμ′，子午線收斂角差異Δγ=γ－γ′，平面坐標差異Δx=x－x′、Δy=y－y′，分別列於表 1、表 2、表 3、表 4；值得注意的是，m≥1，高斯投影是等角投影，故Δω=ω－ω′=ω，已在圖 4中體現，橢球參數取CGCS2000參數。

由表 1可以看出，在一個6°條帶內，等距離球面高斯投影經線長度變形與高斯投影長度變形差異很小，絕對值的最大值取在(B, l)=(0, ±3°)處，為9.268×10-6，二者幾乎完全一致；由圖 3、圖 7、表 1可以看出，由於緯線變形的影響，等距離球面高斯投影長度變形絕對值整體上比高斯投影要大。由圖 5、圖 8可以看出，等距離球面高斯投影面積變形絕對值比高斯投影要小，前者最大面積變形取在原點處，絕對值為0.001676，後者最大面積變形取在(B, l)=(0°, ±3°)處，為0.002765，後者最大面積變形絕對值是前者的1.65倍。

由表 2可以看出，等距離球面高斯投影子午線收斂角比高斯投影小，但差異很小，最大差值Δγ取在約(B, l)=(±35.3°, ±3°)處，絕對值為20.9954″。

從表 3、表 4可以看出，等距離球面高斯投影平面坐標基本上都比高斯投影更靠近坐標軸，差異Δx隨緯度增大先增大后減小，隨經度增大而增大，差異Δy隨緯度增大而減小，隨經度增大而增大，縱坐標最大差值取在約(B, l)=(±30°, ±3°)處，絕對值為19.10m，橫坐標最大差值取在約(B, l)=(0, 3°)處，絕對值為560.9m。

4 、結語

本文研究了等距離球面高斯投影，通過分析等距離球面高斯投影的各種數學性質及變形情況，並與高斯投影進行比較，確定了等距離球面高斯投影的可用性。等距離球面高斯投影經緯網投影保持正交，在一個6°條帶內，最大長度變形絕對值為0.1676%，最大角度變形絕對值為5.765′，最大面積變形絕對值為0.1676%，子午線收斂角最大值為3°。等距離球面高斯投影經線長度變形與高斯投影幾乎一致，子午線收斂角差異很小，角度變形比高斯投影大，面積變形比高斯投影小。總的來說，等距離球面高斯投影各變形參數與傳統高斯投影相當。雖然等距離球面高斯投影不是等角投影，但有能基於球面坐標直接進行換算、面積變形較小等優勢，有一定的理論價值和應用前景。