物理學咬文嚼字之八十九：Parity

作者：曹則賢 (中國科學院物理研究所)

The exception proves the rule¹⁾.

——John Wilson

你軍階太低，跟我不對等。

——《亮劍》

1 Parity這個字

宇稱守恆，以及弱相互作用中的宇稱不守恆，是非常高冷的概念。這裡的宇稱，對應英文名詞parity，其詞幹為par ²⁾。Par 本身可以用作名詞、動詞和形容詞，源自拉丁語的paritas，本意是equal，相等。容易想到同源的part，作為部分的意思應該還保留等分的意味，見解釋part: any of several equal portions。Par，在短語如on a par 及on a par with 中，有勢均力敵、可以比肩、對等的意思， 如women were on a par( 婦女能頂半邊天)。Par，由持平、對等的意思又引申出標準的意思，但是是那種不多的人能夠做到而鮮有人能超越的基準(few regularly meet and very few beat)，見於高爾夫術語a par-three hole(三桿洞)，a course of par value of 72(72 桿賽)， 等等。顯然， on par，above par，達到或超越的不是一般的平均水平。Parity 可用於各種情景，但總不失其相等的本意，on parity with，have parity with 都強調雙方具有同等的地位、能力、價值、作用等。Pay parity 意思是同工同酬，而不同貨幣之間的1：1 兌換率也是parity。

注意，parity 一詞也出現在生物學語境中， 意思是生育次數(the number of times a female has given birth)。不過，此處的parity，和我們熟悉的parent (父或母之一方，強調其為生育者的角色)一詞一樣，來自拉丁語動詞parere，其本意是to bring forth，bear，to give birth to(生育、造成)。把parent 和同源詞prepare(準備)放一起就好理解了。Parere 在現代英語中的形容詞詞根形式為parous，見於oviparous(卵生的)，multiparous(多胞胎的)，等等。

2 數學中的parity

Parity 出現在諸多數學問題中。談論一個整數的parity，就是關切它是奇數還是偶數。在格點結構(lattice)中，若每個點的坐標由一組整數表示，則點的奇偶性可由其坐標值之和的奇偶性來確定。國際象棋的棋盤就把其上的方塊按照奇偶性分成兩類，馬的走法總要求奇偶性的改變，而兩隻象則只能分別落在具有不同parity 的方塊內。據信，面心立方點陣可表示為每個格點的坐標之和都是偶性的(even) 。

同排列(permutation) 相聯繫的parity，稱為parity of a permutation。給定一個集合X，它的一個(變動了元素順序的)排列為σ，則根據反演數N_σ(number of inversion，or number of transposition)，即通過對調相鄰元素的位置恢復集合X 所需的步數，的奇偶性，可以把排列分為even permutation 和odd permutation的， 而parity 在英文中也乾脆被解釋為「oddness or evenness」。可以給排列σ 賦予符號(sign)， 定為(-1)^Nσ。可見，parity 為偶時，符號是+1 ， 而parity 為奇時， 符號是－1，故此德語文獻中還保留positive Parität 和negative Parität 的說法。注意，parity 出現的地方有反演(inversion，逆操作)的身影。進一步地，可引出parity of a function(函數奇偶性) 的概念。若f (-x) = f (x) ，則稱為偶函數，典型的有cosx；若f (-x) = -f (x) ，則稱為奇函數，典型的有sinx。用餘弦函數和正弦函數作為基展開函數，即作傅里葉展開，可以想見一個偶函數的展開只包含餘弦函數，而奇函數的展開則只包含正弦函數。

在數學文獻中，parity 就被漢譯為奇偶性。這是一個不錯的譯法，雖然採用這個譯法去談論evenness or oddness of parity 可能有點怪怪的。奇偶性是乘法傳遞的。

3 物理中的parity

物理是用數學的語言表述的，parity 的概念自然會通過數、函數、操作的概念進入物理學領域。在中文物理學文獻中，parity 被譯成了宇稱，其中的「宇」字，如同adiabatic之漢譯絕熱中的「熱」字，都是額外強加的( 可能是為了和T， time inversion，相併列)，都為相關問題的理解和表述帶來了極大的困擾，至少它為同數學文獻的一致性帶來了麻煩。

函數的奇偶性可以用來區分一些物理量。比如，若將坐標原點選在電荷Q 上， 則其勢函數滿足V(-r) = V(r) ，是偶宇稱的，而電場強度滿足E(-r) = -E(r)，是奇宇稱的。如果採用德語positive Parität和negative Parität 的說法，字面上的意義就特別清楚，那就是說「在正的意義上相等」和「在負的意義上的相等」。注意，此處parity 和坐標原點的選取有關，若把原點選在別的地方就沒這個parity 問題了。

Parity symmetry(這個片語譯成宇稱似乎更合適)作為一個物理學概念比函數的奇偶性具有更多的內容。對於一個物理空間中的位置矢量，若要求在操作P 下矢量的模不變，則必須有PP^T=1，即操作對應的矩陣應該是正交矩陣，矩陣值(determinant)應為+1 或－1。轉動操作對應的矩陣，其矩陣值為1；根據轉動操作下的行為，經典物理對象可以分為標量(scalar)、矢量(vector)和高階張量(可統稱為張量，tensor。標量和矢量即是0-階和1-階張量)。三維空間中的鏡面反射以及空間反演(inversion de l'espace)，對 應 (x，y，z) ↦ (x，y，- z) 和(x，y，z) ↦ (-x，- y，- z)的操作³⁾，其相應的矩陣的值為－1。討論在這種操作下的等同問題就是在談論parity symmetry。在談論parity symmetry 的文獻中會遇到mirror image(鏡像，räumlichen Spiegelung)以及inversion of space， 就和上述兩種情形有關。一般來說，談論parity symmetry 時關切的是(x，y，z) ↦ (-x，- y，- z)帶來的問題。加入parity 以後，物理量可以擴展。比如，轉動下不變的量，P=+1 的是標量；P=－1 的則是贗標量(pseudoscalar)；轉動下按照矢量進行變換的，若P=－1，那是矢量；P=+1 則是贋矢量(pseudovector)。經典力學中的能量、質量等是scalar，速度、動量、電場強度、電位移等是vector，而角動量L 和電磁學的B，H，M 等量則是pseudovector⁴⁾，有文獻稱為axial vector (軸矢量)。

1924 年，O. Laporte 根據奇偶性給原子的波函數分類，並且發現當原子從一個狀態躍遷到另一個狀態發射一個光子時，波函數的奇偶性就改變。若認定光子具有內稟奇偶性，Laporte 的發現就可以表述為宇稱守恆(conservation of parity，奇偶性不變！)。在談論波函數時， 漢語表述是這樣的： 函數ψ(x) = ψ(-x) 具有偶宇稱，而ψ(x) =-ψ(-x) 具有奇宇稱。其實，波函數也不過是函數，這裡談論的不過是函數的奇偶性。

在處理比如氫分子這種兩中心的問題時，會有permutation 操作P( 或者也用希臘字母π， Π 表示)，Pψ(r₁，r₂) = ψ(r₂，r₁) 。由於PP=1，顯然其本徵值只能是+1 和－1。這容易讓人想起parity 問題。實際上，調換兩粒子的坐標就是對兩粒子相對位置矢量的反演，r=r₁-r₂↦ -r—— 本來就有parity of permutation的說法。

在量子力學中，量子態既可以根據張量也可以根據旋量(spinor)的規則變換。量子力學意義下的操作， 要求宇稱變換(parity transformation)，P，是個關於狀態函數的幺正操作，即 Pψ(r) = e^iθ/2ψ(-r) 。則有P²ψ(r) = e^iθψ(r) ，也就是說算符P²是內稟的對稱性操作，其為本徵態 ψ(r) 帶來相位角 e^iθ。如果e^iθ是某個連續對稱群U(1)的元素，則e^-iθ/2也是該群的元素，則總可以引入新的宇稱變換P′= e^-iθ/2P ，使得P′ 的本徵值為+1和－1。因為PP=1，parity symmetry 構成了阿貝爾群Z₂。在量子場論中，若要求量子電動力學是宇稱變換不變的(invariant under parity)，則要求湮滅算符滿足如下變換Πa(p，±)Π⁺ = -a(-p，±)，這裡用Π 表示宇稱變換，p是光子動量，而± 代表兩個極化態。這個要求實際上是說光子具有奇的內稟宇稱(奇的內稟奇偶性)。相應地，標量場具有偶的內稟宇稱。在P 作用下，對自旋為1/2 的費米場，有Pψ(r，t)P^-1= e^iϕγ₄ψ(-r，t)。

4 Parity Breaking

對稱性在物理學中具有舉足輕重的地位。從動量守恆、角動量守恆等尚稱樸素的規律，人們進而提出「物理學定律在平動和轉動變換下是不變的」。這個變換下不變的思想進一步地擴展到了宇稱守恆——宇稱守恆涉及左、右對稱性⁵⁾。人們想當然地以為在物理學的各種相互作用中，parity symmetry 都能得到保證。麥克斯韋方程組就是宇稱變化下不變的。宇稱守恆一直是一個在所有分析中不言而喻的假設。然而， 直覺的不靠譜(fallibility of intuitions)又一次教訓了人們，在弱相互作用中parity symmetry is broken。

1955 年粒子物理學界在為所謂的θ—τ puzzle 所困擾。簡言之，人們發現θ^±衰變成兩π介子(θ⁺→ π⁺π⁰)而τ^± 衰變成三π介子(τ⁺→ π⁺π⁺π^-)⁶⁾。此前的1954 年，π介子的parity 已被確定為負或奇的。但是，所謂的θ-粒子和τ- 粒子，基於角動量和能量守恆對衰變產物的分析認為它們是不同的，但其質量和壽命卻幾乎完全一樣。擺脫這一困境的方法之一是假設宇稱不守恆，從而把它們看作是同一種粒子(如今被稱為K 介子)的兩種衰變模式。1956 年，李政道先生和楊振寧先生合作發表了一篇文章，探討了弱相互作用中宇稱不守恆的思想，並建議了一系列可能驗證此一思想的實驗方案，包括測量極化原子核的β-衰變中出射電子的角分佈以及Λ⁰介子衰變的研究。1957 年1月吳健雄研究組通過測量極化的⁶⁰₂₇Co 原子核β-衰變(圖1)的電子角分佈，確認出射電子θ 同180° - θ 範圍內的分佈是不對稱的(角θ 是母核取向與電子動量之間的夾角)，從而為宇稱不守恆提供了無可爭辯的證據。此後很快在π → μ → e 衰變級聯中和Λ⁰介子衰變中，宇稱不守恆都得到了證實。「八個月後，宇稱不守恆就成了老生常談」，當年年底，李、楊獲得諾貝爾物理學獎⁷⁾。

圖1 ⁶⁰₂₇Co 原子核的β - 衰變

5 CPT theorem

宇稱P 涉及inversion of space，容易想到它同時間反演T 會有聯繫。還有人想到了它同電荷共軛(charge conjugation， Q↦ -Q ； 用charge 的首字母C 表示) 之間的關係。1956 年夏，李政道先生接到R. Oehme 的一封信，指出：在一定限制下，要求電荷共軛和時間反演，就意味著P 必須守恆。李政道先生認識到，在任何相對論局域場論中，CPT 總是守恆的，這被稱為CPT 定理⁸⁾，當然是一項極為重要的定理。李政道先生討論CPT⁹⁾對稱性的手稿(圖2)，曾被選為Physics Today 雜誌1957 年第12 期的封面。弱相互作用宇稱不守恆的發現，促使人們檢驗C，P，T 對稱性之複合是否守恆的問題。已證實在K⁰-和B-介子的衰變過程中，CP複合對稱性是破壞的。

圖2 李政道先生1956 年夏的手跡，其中可見CPT字樣

6 結語

對稱性的概念為物理學研究提供了一個非常有力的工具。Parity symmetry 在量子力學和粒子物理中的角色無疑地證明了這一點。其實，在固體點群中，它也一樣佔據半邊天的地位，只不過那裡它的名字一直是inversion。關於symmetry breaking或者symmetry violation的說法，有必要矯情兩句。談論symmetry breaking 或者symmetry violation，那要假設這個對稱是存在的。但是，

顯然我們在談論弱相互作用中宇稱破壞時，弱相互作用並沒有一個parity symmetry 等著broken or violated， 而是電磁、強相互作用中有的parity symmetry 而弱相互作用沒有而已——There is not a broken parity symmetry，it is simply absent。以大體對稱加上一點非對稱項的拉格朗日量或者波函數描述弱相互作用，那只是我們關於物理描述的選擇而已。

對稱性破缺在1980 年代是普遍性的常識，在1950 年代前卻是禁忌。質疑空間反轉、電荷共軛和時間反演對稱的正確性，是不可想象的；而做實驗去檢驗這些對稱性，簡直是褻瀆神靈。這反映的是一個有趣的現象。人們通常相信宇稱守恆，並不問其正確性的可能限度。其實，反過來想，並沒有先驗的理由認為存在這樣的對稱性。物理學中的其它信條，可能也有類似的問題。

宇稱不守恆的發現是物理學界一代人的成果( 李政道語)。Mel Schwarz 就指出「正如許多偉大的思想一樣，關於弱相互作用中宇稱不守恆的想法，到處冒出來大約已有一年時間。不是李也不是楊首先提出這一問題，事情的關鍵是下一步怎們辦。」類似的說法，羅素也曾表述過，大意為「一個偉大的思想總是模模糊糊地同時出現在同時代許多人的腦海里，並在某個人的腦海中率先結晶出來。」 李、楊1956 年文章的重要性，在於明確了接受宇稱不守恆思想的意願，以及具體指出了到哪裡及如何驗證宇稱不守恆。

Parity 是對等、相匹敵的意思。在物理學中，parity 是space~inversed space 之間的對稱性。愚以為把parity symmetry 理解成左右對稱性容易造成誤導。三維空間中只reverse 一個方向的操作才是左右互換的mirror reflection。研究parity symmetry and its breaking 問題的合作者，其洞察力和解決問題的能力，或者說其作為偉大物理學家的資質，顯然也是相匹敵的。但是，parity symmetry 遇到文章排名這種缺乏translational ordering 的現實，必然會引起symmetry breaking，這或許是物理的宿命吧！學習過如何將點群擴展成空間群的人應該能更深刻地理解這一點。

1) 例外是對規則的證明。一個典型的例子是俄語語法，每一個規則都存在大量的例外。

2) Par 在法語中是介詞，大約等於英語的by，如par avion 即是英語的by air。這個用法也見於英語，如par excellence 即是by the way of excellence，優秀的，多放在被修飾的名字之後。

3) 操作(x，y，z) ↦ (-x，- y，z)等價於轉動操作，其所對應的矩陣，值為＋1。

4) 由於E，D和B，H性質的不同，形式上不對稱的麥克斯韋方程組才具有高對稱性。添加所謂的磁荷或磁單極使得麥克斯韋方程組具有apparent對稱形式，沒有得出任何有意義的結果。

5) 1848 年，法國科學家Louis Pasteur 發現了一類化合物, 同一種物質存在能將偏振光向左和向右旋轉的兩種形式。這類化合物被稱為isomer(equal+part)，字面意思是具有相同組成單元，漢譯異構體。Isomers 的兩種形式互為鏡像，具有手性。手性分子被稱為optical isomers或者enantiomers(in+anti+part)，後者的意思是其中存在相反的單元。Isomers 在化學合成過程表現出左右對稱性。

6) 1947 年Cecil F. Powell 從宇宙射線造成的雲室徑跡中辨認出了Pi 介子(也寫成π介子)。Pi 介子在弱相互作用被引入物理學的過程中扮演重要的角色。

7) 李、楊兩位先生獲諾獎時的國籍記錄是cine(中國)，但是，那無論如何只是美國物理學教育的成就。

8) CPT 定理在文獻中被稱為Lüders—Pauli theorem，最先出現在Julian Schwinger1951 年的文章中。

9) 李政道先生在回憶當年給別人講解CPT定理時，「有一種奇怪的感覺，似乎在以前不同的場合，我曾聽到過我講的話。」然後，他模糊地記起曾聽泡利講過CPT定理。李先生感嘆：「從此以後，我總是要求自己聽完我不完全理解的講座，希望它以後某一時刻可能對我有所啟發。」咦，我在拙著《量子力學-少年版》序言中寫道「把一本看不懂的書看完是一個大學者的基本素養」，看來是有道理的。

本文選自《物理》2017年第8期

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