丘成桐：《紅樓夢》與微分幾何

丘成桐，1949年生，原籍廣東梅州，長於香港。哈佛大學數學教授。他被公認為是當今世界上最有影響的數學家之一，他在29歲時就攻克幾何學上的難題「卡比拉猜想」，在1982年獲得數學界的「諾貝爾獎」——菲爾茲獎，他是迄今惟一獲得該獎的華人。下面是他在一所大學演講的部分內容，形象闡述了他的數學成就與中國人文素養之間的緊密關係。

我年少時，並不喜歡讀書，在香港元朗的平原上嬉戲玩耍，也在沙田的山丘和海濱遊戲。與同伴在一起，樂也融融，甚至逃學半年之久。真可謂倘佯于山水之間，放浪形骸之外。

「感情的培養是做大學問最重要的一部分。」

在這期間，唯一的負擔是父親要求我讀書練字，背誦古文詩詞，讀近代的文選，也讀西方的作品。

但是，當時我喜愛的不是這些書，而是武俠小說，從梁羽生到金庸的作品都看了一遍。至於名著如《水滸傳》、《三國演義》和《紅樓夢》等則是公開的閱讀，因為這是父親認為值得看的好書。他要求我看這些書的同時，還要將書中的詩詞記熟。

《三國演義》和《水滸傳》很快就引起我的興趣，但是讀《紅樓夢》時僅看完前幾回，就沒有辦法繼續看下去。一直到父親去世后，才將這本書仔細地讀過一遍，也開始背誦其中的詩詞。由於父親的早逝、家庭的衰落，與書中的情節共鳴，開始欣賞而感受到曹雪芹深入細緻的文筆，絲絲入扣地將不同的人物、情景，逐步描寫出舊社會的一個大悲劇。

四十多年來，我有空就看這部偉大的著作，想象作者的胸懷和澎湃豐富的感情，也常常想象在數學中如果能夠創作同樣的結構，是怎樣偉大的事情。

我個人認為：感情的培養是做大學問最重要的一部分。汪中在《漢上琴台之銘》中有句云：「撫弦動曲，乃移我情。」

歷史上伯牙學琴的故事：「伯牙學琴於成連，三年而成，至於精神寂寞，情之專一，未能得也……伯牙心悲，延頸四望，但聞海水汨沒，山林谷冥，群鳥悲號，仰天長嘆曰：『先生將移我情。』」

伯牙學琴

這一段話，對我深有感觸。立志要做大學問，只不過是一剎那間事。往往感情澎湃，不能自已，就能夠將學者帶進新的境界。

父親去世以前，我學習了不少知識，也讀了不少好文章。但他的去世，卻深深地觸動了我的感情。我讀《紅樓夢》，背誦秦漢和六朝的古文，讀司馬遷的自傳、報任安書、李陵答蘇武書、陶淵明的歸去來辭等等文章，這些文章的內容都深深地印記在我的腦海中。

文天祥說：「風檐展書讀，古道照顏色。」足可以描述我當時讀書的境況。除了中國文學外，我也讀西方的文學，例如歌德的《浮士德》。

這本書描述浮士德的苦痛，與《紅樓夢》相比，一是天才的苦痛，一是凡人的苦痛。描寫苦痛的極至，竟可以說得上是壯美的境界，足以移動人的性情。

四十年來我研究學問，處事為人，屢敗屢進，未曾氣餒。這種堅持的力量，當可追索到當日感情之突破。我一生從未放棄追尋至真至美的努力，可以用元稹的詩來描述：「曾經滄海難為水，除卻巫山不是雲。」

當遇到困難時，我會想起韓愈的文章：「苟余行之不迷，雖顛沛其何傷。」我也喜歡用左傳中的兩句來勉勵自己：「左輪朱殷，豈敢言病。」

簡潔有力的定理使人喜悅，就如讀《詩經》和《論語》一樣，言短而意深。

做研究生時，我有一個想法，微分幾何畢竟是牽涉及分析﹙即用微積分為工具﹚和幾何的一門學問，幾何學家應該從分析著手研究幾何。況且微分方程的研究已經相當成熟，這個研究方向大有可為。雖然一般幾何學家視微分方程為畏途，我決定要將這兩個重要理論結合，讓幾何和分析都表現出它們內在的美。

在柏克萊的第一年我跟隨Morrey教授學習偏微分方程，當時並不知道他是這個學科的創始者之一。從他那裡我掌握了橢圓形微分方程的基本技巧。在研究院的第二年我才開始跟隨導師陳省身先生學習復幾何。

畢業后，在我的學生和朋友Schoen、Simon、鄭紹遠、Uhlenbeck、Hamilton、Taubes、Donaldson、Peter Li等人的合作下，逐漸將幾何分析發展成一個重要的學科，也解決了很多重要的問題。

這是一種奇妙的經驗，每一個環節都要花上很多細緻的推敲，然後才能夠將整個畫面構造出來，正如曹雪芹寫作《紅樓夢》一樣。

曹雪芹像

尼采說：「一切文學，余愛以血書者。」曹雪芹說：「字字看來皆是血，十年辛苦非尋常。」

我們眾多朋友創作的幾何分析，也差不多花了十年才成功奠基。不敢說是「以血書成」，但每一次的研究都很花費工夫，甚至廢寢忘餐，失敗再嘗試，嘗試再失敗，經過不斷的失敗，最後才見到一幅美麗的圖畫。

簡潔有力的定理使人喜悅，就如讀《詩經》和《論語》一樣，言短而意深。有些定理，孤芳自賞。有些定理卻引起一連串的突破，使我們對數學有更深入的認識。每一個數學家都有自己的品味和看法，我本人則比較喜歡后一類數學。

當定理證明后，我們會覺得整個奮鬥的過程都是有意思的，正如智者垂竿，往往大魚上鉤后，又將之放生，釣魚的目的就是享受與魚比試的樂趣，並不在乎收穫。

從數學的歷史看，只有有深度的理論才能夠保存下來。千百年來，定理層出不窮，但真正名留後世的結果卻是鳳毛麟角，這是因為有新意的文章實在不多，有時即使有新意，但是深度不夠，也很難傳世。

當年我看武俠小說，很是興奮，也很享受，但是很快就忘記了。在閱讀有深度的文學作品時，卻有不同的感覺。有些武俠小說雖然很有創意，但結構不夠嚴謹，有很多不合理的元素，與現實相差太遠，最終不能沁人心脾。

我們幾個朋友在研究和奮鬥過程中，始終不搞太抽象的數學，總願意保留大自然的真和美。

王國維評古詩十九首：「昔為倡家女，今為盪子婦，盪子行不歸，空床難獨守。」「何不策高足，先據要路津，無為久貧賤，軻長苦辛。」以為其言淫鄙，但從美學的觀點，卻不失其真。

數學工作不應遠離大自然的真和美。

數學創作也如寫小說，總不能遠離實際。《紅樓夢》能夠扣人心弦，乃是因為這部悲劇描述出家族的腐敗、社會的不平、青春的無奈，是一個普羅眾生的問題。好的數學也應當能接觸到大自然中各種不同的現象，這樣才能夠深入，才能夠傳世。

我的研究工作，深受物理學和工程學的影響，這些科學提供了數學很重要的素材。

廣義相對論就是一個重要的例子。1973年在斯坦福大學參加一個國際會議時，我對某個廣義相對論的重要問題發生興趣，它跟幾何曲率和廣義相對論質量的基本觀念有關，我鍥而不捨地思考，終於在1978年和學生Schoen一同解決了這個重要的問題。這些與相對論有關的幾何問題始終使我喜悅。

也許這是受到王國維評詞的影響，我認為數學家的工作不應該遠離大自然的真和美。直到現在我還在考慮質量的問題，它有極為深入的幾何意義。沒有物理上的看法，很難想象單靠幾何的架構，就能夠獲得深入的結果。廣義相對論中的品質與黑洞理論都有很美的幾何意義。

其實西方文藝復興的一個重要反思就是復古，重新接受希臘文化真與美不可割裂的觀點。中國古代文學的美和感情是極為充沛的，先秦兩漢的思想和科技與西方差可比擬。清代以來，美術文學不發達，科學亦無從發展。讀書則以考證為主，少談書中內容，不逮先秦兩漢唐宋作者的熱情澎湃。若今人能夠回復古人的境界，在科學上創新當非難事。

除了看《紅樓夢》外，我也喜歡看《史記》、《漢書》。這些歷史書不單發人深省，文筆通暢，甚至啟發我做學問的方向。由於史家寫實，氣勢磅礡，蕩氣迴腸，使人感動。歷史的事實教導我們在重要的時刻如何做決斷。做學問的道路往往是五花八門的，走什麼方向卻影響了學者的一生。複雜而現實的歷史和做學問有很多類似的地方，歷史人物做的正確決斷，往往能夠提供學者選擇問題一個良好的指南針。

王國維

王國維說學問第一境界「昨夜西風凋碧樹，獨上高樓，望盡天涯路。」做好的工作，總要放棄一些次要的工作，如何登高望遠，做出這些決斷，大致上建基於學者的經驗和師友的交流上。然而對我而言，歷史的教訓卻是很有幫助的。

我剛畢業時，蒙幾何學家西門斯邀請到紐約石溪做助理教授。當時石溪聚集了一群年青而極負聲望的幾何學家，在度量幾何這個領域上可說是世界級重鎮。我在那裡學了不少東西。

一年後又蒙奧沙文教授邀請我到斯坦福大學訪問，接著斯坦福大學聘請我留下來。但是當時斯坦福大學基本上沒有做幾何學的教授，我需要做一個決定。

司馬遷作《史記》

這時我記起《史記》敘述漢高祖的事迹。劉邦去蜀，與項羽爭霸，屢敗屢戰。猶駐軍中原，無意返蜀，竟然成就了漢家四百多年的天下。對我來說，度量幾何的局面太小，而斯坦福大學能夠提供的數學前景宏大得多，所以決定還是留在斯坦福做教授，與Schoen、Simon合作。現在想來，這是一個正確的決定。

如上所言，我的想法和一般同學的想法不大一樣，也不見得是其他一流數學家的想法。但是有一點是所有學者都有的共同點：努力學習，繼承前人努力得來的成果，不斷地向前摸索。

我年少時受到父親的鼓勵，對求取知識有濃烈的興趣，對大自然的現象和規律都很好奇，想去了解，也希望能夠做一些有價值的工作，傳諸後世。

孔子講學圖

我很喜愛以下兩則古文：

孔子：「君子疾沒世而不稱焉。」

曹丕《典論論文》：「蓋文章，經國之大業，不朽之盛事……」

「尋孔顏樂處，拓萬古心胸。」

屈原說：「紛吾既有此內美兮，又重之以修能。」文章的格調和對學術的影響力與「內美」有關，可以從詩詞、禮、樂、古文、大自然的環境中培養吸收。

有了理想的方向，還需要尋找好的問題。空間曲率的概念對我具有極大的吸引力，我從廣義相對論中知道所謂Ricci曲率的重要性。通過愛因斯坦方程，它描述物質的分佈，這個方程的簡潔和美麗使我詫異。

我認為了解Ricci曲率是了解宏觀幾何的最重要一環，但幾何茫茫，無從著手。有一天很高興地發現Calabi先生在1954年時有一篇文章，敘述在復幾何的領域中，Ricci曲率有一個漂亮的命題，但他卻沒有辦法證明這個命題。當時我很興奮，但也覺得它不大可能是真實的，因為這個命題實在太美妙了。所有年輕的朋友都這麼說，甚至我的導師也這麼說。

陳先生甚至認為這個研究方向的意義不大，我卻固執地認為對Calabi猜測總要找出一個水落石出的答案。直到有一天，經過大量的嘗試后，我才發覺從前走的方向完全是錯誤的，於是反過來企圖證明這個猜想。這個猜想在一九七六年全部完成，我同時應用它解決了代數幾何里好幾個基本問題。毫無疑問，這是一個漂亮的定理，也打開了幾何分析的一個大門。

當時我剛結婚，正在享受人生美好的時刻，也獨自欣賞這個剛完成的定理的真實和美麗，有如自身的個體融入大自然裡面。當時的心境可以用下面兩句來描述：「落花人獨立，微雨燕雙飛。」

做科研確實需要付出代價，但它的快樂無窮。先父的心愿是：「尋孔顏樂處，拓萬古心胸。」我只知自得其樂，找尋我心目中宇宙的奧秘。「衣沾不足惜，但使願無違。」

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