初中數學相似三角形的判定定理證明及利用三角形相似解決問題

知識點總結

一、平行線分線段成比例定理及其推論：

1.定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例。

2.推論：平行於三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應線段成比例。

3.推論的逆定理：如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應線段成比例，那麼這條線段平行於三角形的第三邊。

二、相似預備定理：

平行於三角形的一邊，並且和其他兩邊相交的直線，截得的三角形的三邊與原三角形三邊對應成比例 。

三、相似三角形：

1.定義：對應角相等，對應邊成比例的三角形叫做相似三角形。

2.性質：（1）相似三角形的對應角相等；

（2）相似三角形的對應線段(邊、高、中線、角平分線)成比例；

（3）相似三角形的周長比等於相似比，面積比等於相似比的平方。

說明：①等高三角形的面積比等於底之比，等底三角形的面積比等於高之比；②要注意兩個圖形元素的對應。

3. 判定定理：

（1）兩角對應相等，兩三角形相似；

（2）兩邊對應成比例，且夾角相等，兩三角形相似；

（3）三邊對應成比例，兩三角形相似；

（4）如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角對應成比例，那麼這兩個直角三角形相似。

四、三角形相似的證題思路：

五、利用相似三角形證明線段成比例的一般步驟：

一「定」：先確定四條線段在哪兩個可能相似的三角形中；

二「找」：再找出兩個三角形相似所需的條件；

三「證」：根據分析，寫出證明過程。

如果這兩個三角形不相似，只能採用其他方法，如找中間比或引平行線等。

六、相似與全等：

全等三角形是相似比為1的相似三角形，即全等三角形是相似三角形的特例，它們之間的區別與聯繫：

1.共同點它們的對應角相等，不同點是邊長的大小，全等三角形的對應邊相等，而相似三角形的對應的邊成比例。

2.判定方法不同，相似三角形只求形狀相同的，大小不一定相等，所以改「對應邊相等」成「對應邊成比例」。

常見考法

（1）利用判定定理證明三角形相似；（2）利用三角形相似解決圓、函數的有關問題。

誤區提醒

（1）根據相似三角形找對應邊時，出現失誤找錯對應邊，因此在寫比例式時出錯，導致解題錯誤信息；（2）在定理的實際應用中，常常忽視「夾角相等」這個重條件，錯誤認為有兩邊對應比相等，再有一組角相等，就能得到兩個三角形相似。